6.1 Angles in All Four Quadrants

中等难度练习

题目4：锐角表示

将以下各式表示为锐角的三角函数比值：

a) \(\sin 240°\)
b) \(\sin(-80°)\)
c) \(\sin(-\frac{10\pi}{9})\)
d) \(\sin(\frac{5\pi}{3})\)
e) \(\cos 110°\)
f) \(\cos 260°\)
g) \(\cos(-\frac{10\pi}{9})\)
h) \(\cos(\frac{109\pi}{36})\)
i) \(\tan 100°\)
j) \(\tan 325°\)
k) \(\tan(-\frac{\pi}{6})\)
l) \(\tan(\frac{10\pi}{3})\)

题目5：角度变换

给定 \( \theta \) 是锐角，用 \( \sin \theta \) 表示以下各式：

a) \(\sin(-\theta)\)
b) \(\sin(\pi + \theta)\)
c) \(\sin(360° - \theta)\)
d) \(\sin(-(180° + \theta))\)
e) \(\sin(-\pi + \theta)\)
f) \(\sin(-360° + \theta)\)
g) \(\sin(3\pi + \theta)\)
h) \(\sin(720° - \theta)\)
i) \(\sin(\theta + 4\pi)\)

题目6：余弦和正切变换

给定 \( \theta \) 是锐角，用 \( \cos \theta \) 或 \( \tan \theta \) 表示以下各式：

a) \(\cos(\pi - \theta)\)
b) \(\cos(180° + \theta)\)
c) \(\cos(-\theta)\)
d) \(\cos(-(180° - \theta))\)
e) \(\cos(\theta - 2\pi)\)
f) \(\cos(\theta - 540°)\)
g) \(\tan(-\theta)\)
h) \(\tan(\pi - \theta)\)
i) \(\tan(180° + \theta)\)
j) \(\tan(-\pi + \theta)\)
k) \(\tan(3\pi - \theta)\)
l) \(\tan(\theta - 2\pi)\)

挑战练习

题目7：证明题

证明以下恒等式：

a) 证明 \(\sin(180° - \theta) = \sin \theta\)
b) 证明 \(\cos(-\theta) = \cos \theta\)
c) 证明 \(\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta\)

提示：画出单位圆上 \( \theta \) 和 \( 180° - \theta \) 或 \( \pi - \theta \) 的位置示意图。

题目8：综合应用

已知 \( \theta \) 是第二象限的角，且 \( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，求：

a) \(\cos \theta\)
b) \(\tan \theta\)
c) \(\sin(180° - \theta)\)
d) \(\cos(180° + \theta)\)
e) \(\tan(360° - \theta)\)

题目9：角度范围问题

求满足以下条件的所有角度 \( \theta \)：

a) \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) 且 \( 0° \leq \theta \leq 360° \)
b) \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) 且 \( 0° \leq \theta \leq 360° \)
c) \(\tan \theta = -1\) 且 \( 0° \leq \theta \leq 360° \)
d) \(\sin \theta = -\frac{1}{2}\) 且 \( -180° \leq \theta \leq 180° \)

参考答案

题目1答案：

a) 第四象限，锐角80°

b) 第二象限，锐角80°

c) 第三象限，锐角20°

d) 第二象限，锐角15°

e) 第三象限，锐角35°

f) 第三象限，锐角45°

g) 第四象限，锐角40°

h) 第四象限，锐角30°

i) 第三象限，锐角80°

j) 第四象限，锐角40°

题目2答案：

a) 第一象限 (400° = 40°)

b) 第二象限

c) 第二象限 (-210° = 150°)

d) 第三象限

e) 第一象限

题目3答案：

a) -1

b) 1

c) 0

d) -1

e) -1

f) 0

g) 0

h) 0

i) 0

j) 0

题目4答案：

a) \(-\sin 60°\)

b) \(-\sin 80°\)

c) \(-\sin \frac{\pi}{9}\)

d) \(-\sin \frac{\pi}{3}\)

e) \(-\cos 20°\)

f) \(-\cos 80°\)

g) \(-\cos \frac{\pi}{9}\)

h) \(\cos \frac{\pi}{36}\)

i) \(-\tan 80°\)

j) \(-\tan 35°\)

k) \(-\tan \frac{\pi}{6}\)

l) \(\tan \frac{\pi}{3}\)

题目5答案：

a) \(-\sin \theta\)

b) \(-\sin \theta\)

c) \(-\sin \theta\)

d) \(\sin \theta\)

e) \(-\sin \theta\)

f) \(\sin \theta\)

g) \(-\sin \theta\)

h) \(-\sin \theta\)

i) \(\sin \theta\)

题目6答案：

a) \(-\cos \theta\)

b) \(-\cos \theta\)

c) \(\cos \theta\)

d) \(-\cos \theta\)

e) \(\cos \theta\)

f) \(-\cos \theta\)

g) \(-\tan \theta\)

h) \(-\tan \theta\)

i) \(\tan \theta\)

j) \(-\tan \theta\)

k) \(-\tan \theta\)

l) \(\tan \theta\)

题目7答案：

a) 在单位圆上，角度 \( \theta \) 和 \( 180° - \theta \) 关于y轴对称，因此y坐标相同，即 \(\sin(180° - \theta) = \sin \theta\)

b) 角度 \( \theta \) 和 \( -\theta \) 关于x轴对称，因此x坐标相同，即 \(\cos(-\theta) = \cos \theta\)

c) 利用 \(\tan(\pi - \theta) = \frac{\sin(\pi - \theta)}{\cos(\pi - \theta)} = \frac{\sin \theta}{-\cos \theta} = -\tan \theta\)

题目8答案：

a) \(\cos \theta = -\frac{4}{5}\)

b) \(\tan \theta = -\frac{3}{4}\)

c) \(\sin(180° - \theta) = \sin \theta = \frac{3}{5}\)

d) \(\cos(180° + \theta) = -\cos \theta = \frac{4}{5}\)

e) \(\tan(360° - \theta) = -\tan \theta = \frac{3}{4}\)

题目9答案：

a) \(\theta = 30°, 150°\)

b) \(\theta = 150°, 210°\)

c) \(\theta = 135°, 315°\)

d) \(\theta = -30°, -150°\)